Primera Unidad

Contenido

Diferenciaciones
1.1 Definicion de Diferenciales
1.2 Incrementos y Diferenciales, su interpretacion geometrica
1.3 Teoremas Tipicos de Diferenciaciales
1.4 Calculo de diferenciales
1.5 Calculo de aproximaciones usando la diferncial

Fecha de Examen: 16/Febrero/09



La Derivada de una Funcion

F es aquella denotada por f''(x), tal que su valor es un numero x definido por f

f'(x) = f(x+∆x) - f(x)/∆x
lim ∆x→0

Si existe limite

f'(x) = f(x + ∆x) - f(x)/∆x
lim ∆x→0

f' de x es un subconjunto de f al comparar estas dos ecuaciones la pendiente de la recta tangente en el punto (x, f(x)) es la derivada de la funcion en x.

Ejemplo: Determine la derivada

f(x) = 3/x f'(x) = ((3/x+∆x) - (3/x))/∆x
lim ∆x→0

Si x es un numero del dominio de f




Diferenciabilidad y Continuidad



f(x) = 3/x ; f'(x) = -3/x^2

Como el dominio de f de todos los numeros reales a diferencial del 0 f' existe entonces f tambin es diferencia

Determine la derivada de la funcion



Examen



Derrivar

3.-

f(x) = (4x^3+1)^2 = (4x^3 +1) (4x^3 +1)
f'(x) = (4x^3+1)dx(4x^3+1) + (4x^3+1) dx (4x^3+1)
f'(x) = (4x^3+1)(12x^2) + (4x^3+1)(12x^2)
f'(x) = 2(4x^3+1)(12x^2)

4.-

f(x) = 1/4x^3+5x^2-7x+8 = (4x^3+5x^2-7x+8)^-1
f'(x) = -1(4x^3+5x^2-7x+8)^-2 dx (4x^3+5x^2-7x+8)
f'(x) = -1(4x^3+5x^2-7x+8)^-2 (12x^2+10x-7)

f'(x) = (-12x^2+10x-7)/(4x^3+5x^2-7x+8)^2

Factorizar

5.-

4x^2 - 12xy +9y^2
(2x-3y)^2 = (2x-3y)(2x-3y)

6.-

x^2 - 5x + 6
(x-3)(x+2)

Diferenciacion de Potencias

(para potencias con exponente enteros negativos)

f(x) = x^-n x =/= 0

f'(x) = -n x^-n-1

d/dx = (3/x^3) = d/dx 3x^-3

= -5(3x^-3-1)
= 15x^-6
= 15/x^6

Diferenciacion para el producto

h(x) = f(x) * g(x)
h'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)

d/dx (2x^3-4x^2)(3x^5+x^2)
d/dx (2x^3-4x^2)(15x^4+2x)+(6x^2-8x)(3x^5+x^2)

d/dx = 30x^7+4x^4-60x^6-8x^3+18x^7-24x^6+6x^4-8x^3
= 48x^7 - 84x^6 + 10x^4 - 16x^3
= 2x^3(24x^4-42x^3+5x-8)

Teorema De Diferenciacion Para El Cociente

h(x) = f(x)/g(x)

h'(x) =( g(x) f'(x) - f(x) g'(x))/[g(x)]^2


Ejemplo
D(x) = (2x^3+4/x^2+1) f(x)/g(x)
D'(x) = [(x^2 + 1)(6x^2) - (2x^3+4)(2x)]/[(x^2+1)^2]
D'(x) = (6x^4+6x^2 - 4x^4-8x)/(x^2+1)^2

D'(x) = 2x^4-6x^2-8x/(x^2+1)^2//

Resolver la Derivada de la Siguiente Funcion

g(x) = 3/x^2 + 5/x^4

g'(x) = (5/x^4)(-6/x^3) + (3/x^2)(-20/x^5)/(3/x^2)^2//


g(x) = 4x^4 - 1/4x^4
g'(x) = 16x^3 - x^-4 /4
g'(x) = 16x^3 + 4x^-5 /4
g'(x) = 16x^3+1/x^5

Incrementos y Diferenciales

Sea f una funcion, conciderando y = f(x) en muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x varia ligeramente y se necesita encontrar la variacion correspondiente de la variable dependiente de y.

Si x x1-x2
∆x = x2 - x1
x2 = x1 + ∆x

Analogicamente ∆y corresponde a la variacion de la variable dependiente correspondiente al cambio ∆x

∆y = f(x2) - f(x1) = f(x1 +∆x) - f(x1)


P(x,f(x))
Q(x1+∆x, f(x1+∆x))




Ejemplo:

y = 3x^2 - 5 encontrar ∆y en x = 2 y ∆x = 0.1

∆y = f(x2) - f(x1) = f(x1+∆x - f(x1)
∆y = 8.23 - 7
∆y = 1.23





La notacion de incrementos se puede usar en la definicion de la derivada de una funcion, unicamente sustituimos ∆x en lugar de la variable independiente

f'(x) lim ∆x→0 f(x+∆x) - f(x)/∆x

x valor inicial

∆y = f(x+∆x) - f(x)

sustitucion en f'(x)

f'(x) = lim ∆x→0 ∆y/∆x

En palabras se puede expresar la derivada de f es el limite de la razon del incremento ∆y de la variable dependiente y el incremento ∆x de la variable independiente cuando este ultimo tiene a 0.

Si x = x, en la grafica ∆y/∆x es la pendientte de la recta secante que pasa por PQ si f es derivable entonces ∆y/∆x = f'(x) si ∆x=0 geometricamente esto significa que si ∆x esta cerca de 0 entonces la pendiente ∆y/∆x de la secante esta cerca de la pendiente f'(x) de la recta tangente den el punto P.

* Esto significa que y = f(x) donde f es derivable y ∆x un incremento de x entonces

* La diferencial dy e la variable dependiente y esta dada por dy = f'(x) ∆x

* La diferencial dx de la variable independiente x esta dada por dx = ∆x

Ejemplo:

Si yo tengo una funcion f(x) = x^4 -3x^2+5x+4

a) Encontrar dy
b) Encontrar Dy para x=2, ∆=-1

dy=f'(x)∆x

a) 4x^3-6x+5(∆x)

b) dy=(4x^3 - 6x +5)(-0.1) dy=[4(2)^3 -6(2) +5][-0.1]
dy= -2.5

Definicion de Integracion y Metodos

La antiderivacion o antidiferenciacion es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas
f(x)dx = f(x)+c

donde f'(x) = f(x)
y
d (f(x) = f(x)dx
d(f(x)) = f(x)+c

Cuando se antideriva una funcion se obtiene la funcion mas una constante albitraria.
La antiderivacion es una operacion inversa a la derivacion

Teoremas



Para valor especificos de "n"

x^2dx = x^3/x + c

x^3dx = x^4/4 +c

1/x^2dx = (x^-2)dx
= x^-2+1/-2+1 + c
= x^-1/-1+c = -1/x + c

³√x dx = x^1/3 + 1 dx = x^(4/3)/(4/3) + c = 3/4x^(4/3) + c

Ejemplos

(3x+5) dx =
(3x)dx + 5dx

3x^2/2 + 5x + c //


(5x^4-8x^3+9x^2-2x+7)dx
5x^4dx -8x^3dx+9x^2dx - 2x dx +7x + c

5x^5/5 - 8x^4/4 + 9x^3/3 - 2x^2/2 + 7x^2/2 +c

x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 +7x +c


Funciones Trigonometricas

Identidades

sen x csc x = 1
cos x sec x = 1
tan x cot x = 1
tan^2 x + 1 = sec^2x
cot^2x+1 = csc^2x

cot x = cos x/sen x
sen^2 x + cos^2 x = 1


Ejemplos

(tan^2x +cot^2 + 4) dx
tan^2x dx + cot^2 x dx + 4dx

sec^2 x -dx +csc^2 x - dx + 4x + c
tan x - x - cot x - x +4x + c
tan x - cot x + 2x +c//




2cot x - 3sen^2x/sen x dx

2(1/senx) cot x dx - 3sen^2x/senx dx

2csc x cot x dx -3 sen xdx

2(-csc x) - 3(-cos x) + 1

-2 csc x + 3 cos x +c//



5cos x - 4 sen x dx
5cos x dx - 4sen x dx
5sen x + 4cos x + c//


sen x/cos^2 x dx

sen x/cos x dx - 1/cos x dx
(tan x sec x) dx
sec x + c//


(4 csc x cot x + 2 sec^2x)dx
4csc x + cot x dx + 2 sec^2 x dx
-4csc x + 2 tan x + c//




cos x / sen^2x

((cos x / sen x)(1/sen x))dx
(cot x csc x) dx
-csc x + c+ c//


(x cos x^2) dx
dx(cos x dx) cos x dx
x sen x sen x + c
x sen^2 x + c
x tan x + c//

Cambio De Variable O Metodo De Sustitucion


(3x+1)^4 dx = (3x+1)^5/5 + c

(dy/dx) = ((3x+1)/3))(3/5) = (5(3x+1)+(3)(3))/3(5)

u = 3x + 1
du = 3

15x + 5 +9 / 15 = 15x+14/15

1/3(3x+1)^4 3 dx = 1/3 u^4du =

1/3[u^(4+1)/4+1 + c] = u^5/15 + c




f(g(x)) g'(x) dx = f(u) du = (g(x)) + c

u= u= u=
du = du= du=

donde u = g(x) y du = g'(x)


(2x^3+1)^7 x^2 dx =
u = 2x^3+1
du = 6x^2

1/6(2x^3+1)^7 6x^2 dx =

1/6u^7 du = 1/6 [1/8 u^8 +k] = 1/48 (2x^3+1)^8 + 1/6 k =
1/48(2x^3+1)^8 +c//


(√t^3 - 1) t^2 dt

((t^3-1)^(-1/2)) t^2 dt = 1/3(t^3-1)^(1/2) 3t^2 = 1/3[(t^3-1)^(3/2)/(3/2) + c]

u= t^3 - 1
u = 3t^2

2/9(t^3-1)^(3/2) + c//

(x-2) / (x^2 - 4x +3)^3 dx

(x-2)(x^2-4x+3)^-3 dx = -1/2(x^2-4x+3)^-3 2(x-2) dx

1/2u^-3du = (1/2) u^-2/-2 = u^-2/-4 = 1/-4u^2

u = x^2 - 4x +3
du= 2x-4

1/(-4(x^2-4x+3)^2) +c//

• Integrales Definidas e Indefinidas
• Trigonometricas
• Integrales Directas
• Cambio de Variable o Metodo de Sustitucion
• Sustitucion Trigonometricas
• Por Partes
  
  x(³√7-6x^2) dx - 1/2 x(7-6x^2)^(1/3) - 12x dx = -1/12 x u^(1/3) dx
  

u = 7 - 6x^2
du = -12x dx

(-1/12) ((u^(4/3))/(4/3)) + c
= (-3/48)((7-6x^2)^(4/3)) + c
= (-1/16)((t-6x^2)^(4/3) + c//

x(√2x-1) dx

u = 2x - 1
dx = 2dx

1/2(√2x-1) 2dx
= 1/2u^(1/2) du
=(1/2)((u^(3/2))/(3/2)) + c
= (2/6)u^(3/2) + c
= 1/3 u^(3/2) + c
= (1/3)((2x-1)^3/2) + c//